函數(shù)最值的應(yīng)用精品(七篇)

序論：寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇函數(shù)最值的應(yīng)用范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

關(guān)鍵詞：最大值 最小值 最值 邊際

中圖分類號(hào):F224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-4914（2011）12-082-02

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)研究、經(jīng)營管理中，經(jīng)常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產(chǎn)量最多、效率最高、成本最低等問題，這些問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值或最小值的問題。隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問題顯得越來越重要，運(yùn)用微分中的最值可以對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問題進(jìn)行最優(yōu)化分析，從而為企業(yè)經(jīng)營者的科學(xué)決策提供依據(jù)。

一、最值的概念

1.最大值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點(diǎn)。當(dāng)對(duì)于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱點(diǎn)x0為f（x）在[a,b]上的最大值點(diǎn)。

2.最小值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點(diǎn)。當(dāng)對(duì)于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱點(diǎn)x0為f（x）在[a,b]上的最小值點(diǎn)。

最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。

二、最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

最優(yōu)化問題是經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)的核心，各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關(guān)心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費(fèi)用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。

1.最大利潤問題。

例1：某工廠在一個(gè)月生產(chǎn)某產(chǎn)品Q件時(shí), 總成本為C（Q）=5Q+200（萬元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬元），問一個(gè)月生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí), 所獲利潤最大?

解：由題設(shè)，知利潤為

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

顯然最大利潤一定在（0，+∞）內(nèi)取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（萬元）為L(zhǎng)的一個(gè)極大值。

從而一個(gè)月生產(chǎn)250件產(chǎn)品時(shí)，可取得最大利潤425萬元。

2.最大收益問題。

例2：某商品的需求量Q是價(jià)格p的函數(shù)Q=Q（p）=75-p2，問p為何值時(shí)，總收益最大？

解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。

即當(dāng)價(jià)格為5時(shí)，有最大收益250。

3．經(jīng)濟(jì)批量問題。

例3：某商場(chǎng)每年銷售某商品a件，分為x批采購進(jìn)貨，已知每批采購費(fèi)用為b元，而未售商品的庫存費(fèi)用為c元/年?件。設(shè)銷售商品是均勻的，問分多少批進(jìn)貨時(shí)，才能使以上兩種費(fèi)用的總和為最??？(a,b,c為常數(shù)，且a,b,c>0）。

解：顯然，采購進(jìn)貨的費(fèi)用W1（x）bx，

兩次求導(dǎo)：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 則Q=3

當(dāng)Q=3時(shí)，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而邊際成本函數(shù)C'（Q）=15-12Q+3Q2

當(dāng)Q=3時(shí)，C'（Q）=15-36+27=6

可見最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是：當(dāng)產(chǎn)量在Q的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)單位時(shí)，成本C（Q）的增量。

三、總結(jié)

綜上所述，對(duì)經(jīng)營者來說，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產(chǎn)和科研中，常常會(huì)遇到最值的問題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對(duì)其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個(gè)合格的企業(yè)經(jīng)營者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

1.陸慶平.以企業(yè)價(jià)值最大化為導(dǎo)向的企業(yè)績(jī)效評(píng)價(jià)體系――基于利益相關(guān)者理論[J].會(huì)計(jì)研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].中國科技博覽,2009（7）

3.李春萍.導(dǎo)數(shù)與積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].商業(yè)視角，2007（5）

4.向菊敏.微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動(dòng)中的應(yīng)用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的運(yùn)用[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（10）

6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用淺析[J].商場(chǎng)現(xiàn)代化,2008（4）

7.顧霞芳.淺談導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].職業(yè)圈，2007（4）

篇(2)

關(guān)鍵詞：最值問題； 數(shù)學(xué)教學(xué)； 舉例

一、靈活應(yīng)用不等式轉(zhuǎn)換

例1.設(shè) 且 ，求 的最大值。

分析：注意到 不是定值，而條件 中無根號(hào)，因而想到去掉根號(hào)湊成 的形式。

一般的：當(dāng) 且 ，則 的最大值是 （其中 都是常數(shù)）

此例可見靈活應(yīng)用不等式并不是無目標(biāo)的猜想，其要求我們不墨守陳規(guī)，化生疏為熟悉，在推理過程中做到嚴(yán)密正確。

二、合理使用配方法

例2.求函數(shù) 的最值。

在應(yīng)用配方法前，注意隱含條件的思維方法，不可盲目使用導(dǎo)致最值的擴(kuò)大或縮小，注意條件的嚴(yán)密性。

三、充分利用數(shù)形結(jié)合

例3.求函數(shù) 的最小值

① 選取坐標(biāo)的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性

② 轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思維的靈活性

四、謹(jǐn)慎使用判別式法

例4.求函數(shù) 的最值

① 用判別式法求函數(shù)最值時(shí)，解 0中，其“>”與“=”有一個(gè)成立即可。故寫出最值時(shí)，務(wù)必考慮到它的“極端”情況“=”能否成立。

② 由于函數(shù)到方程，中間將有個(gè)變形（不一定是恒等變形）過程，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的二次方程，在解關(guān)于 的不等式。

③ 若忽視隱含條件就容易出錯(cuò)，故務(wù)必考慮到其函數(shù)本身的取值，應(yīng)謹(jǐn)慎使用。

五、合理使用換元法

當(dāng)已知函數(shù)的次數(shù)較高，則想方設(shè)法降次是必須解決的任務(wù)。所以應(yīng)用換元將是一個(gè)有力的工具。

例5.求函數(shù) 的最值。

六、奇妙的增量代換法

例6.求函數(shù) 的最大值和最小值。

解：函數(shù) 的定義域是 。所以 是4與一個(gè)增量之和，且這個(gè)增量在 內(nèi)取值。

當(dāng) 時(shí)， 取得最大值2；

當(dāng) 時(shí)， 其的最小值1。

利用增量代換法取得來解決和處理最值問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要方法，可表現(xiàn)出奇妙的作用。

七、利用導(dǎo)數(shù)求最值

例7.一個(gè)容器，下半部是圓柱上半部是半球，且圓柱底面半徑和半球的半徑相等；設(shè)容器的表面積為s，問圓柱的高與底面半徑之比為何值時(shí)，容器的容量最大？

解：設(shè)圓柱的高為h。底面半徑為R，則

（1）

容器的容積 （2）

把（1）代入（2），整理得

令 ，即 解得 （舍去負(fù)值）。

經(jīng)檢驗(yàn)，這個(gè)R值能使V有最大值，代入（1）得

故當(dāng) 時(shí)，容器容積最大。

八、應(yīng)用函數(shù)求最值

例8.已知 所在平面內(nèi)有一條直線 過其直角頂尖 ，且 在直線的同一側(cè)，求 以 為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的最大體積。

解：所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)小圓錐和一個(gè)大圓錐的體積，分別通過A.B做 的垂線，垂足為D.E，設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為 ，大、小圓錐的高分別為 ，設(shè) ，則

故所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

上兩例，不管用導(dǎo)數(shù)還是有界函數(shù)求最值，都選擇了某一幾何量作為自變量，建立函數(shù)解析式。這是求最值問題的一種有效方法。

九、以市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)為背景

例9.某旅行社在某地組織旅游團(tuán)到北京參觀，共需6天，每人往返機(jī)票、食宿費(fèi)、參觀門票等費(fèi)用共需3200元，如果每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為4600元。則只有20人參加旅游團(tuán)；高于4600元時(shí)，沒有人參加，如果每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)從4600元降低100元，參加旅游團(tuán)人數(shù)就增加10人；試問：每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為多少時(shí)，該旅行社所獲得利潤最大？

（職高教材基礎(chǔ)版第一冊(cè)P137第32題）

解這類營銷應(yīng)用問題需理解有關(guān)名詞的含義，如“利潤=銷售價(jià)-成本價(jià)”，掌握有關(guān)函數(shù)及計(jì)算方法：

解：設(shè)每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 元 ，則收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下降了4600- 元，旅游團(tuán)人數(shù)增加了 人，根據(jù)題意得利潤 （元）與收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) （元）的函數(shù)關(guān)系式：

整理得：

當(dāng) =4000元時(shí)， =6400元

答：當(dāng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為4000元時(shí)，該旅行社所獲得利潤最大，最大利潤為6400元。

綜上各例，無論用哪種方法求最值，奇妙的規(guī)律性是解決最值問題的關(guān)鍵；我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)積極培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力來處理不同題型，才能進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

[1] 蘇居寧.《立體幾何中的最值問題》《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》1996-8

[2] 邱志明.《關(guān)于函數(shù)最值問題的教學(xué)》.《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2003-10

[3] 邱潤發(fā).《用函數(shù)解決市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的最值問題》.《數(shù)學(xué)通訊》2005-2

篇(3)

關(guān)鍵詞： 最值；綜合性；靈活性；發(fā)散思維

中圖分類號(hào)： G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1992-7711（2013）22-091-1

函數(shù)最值定義：函數(shù)最值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳.若存在x0∈A，使得對(duì)于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數(shù)f（x）的最大值，記為f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得對(duì)于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數(shù)f（x）的最小值，記為f（x）min=f（x0）.

分式三角函數(shù)最值求解方法很多，現(xiàn)主要?dú)w納為以下幾點(diǎn)：1.拆項(xiàng)觀察；2.反解法；3.數(shù)形結(jié)合法；4.應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求解法.如何求函數(shù)y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆項(xiàng)觀察法

分析 可將原式化為整式和分式兩部分，其中分式部分：分子是常數(shù)、分母是關(guān)于變量sinx的多項(xiàng)式.

解 在原函數(shù)僅含有變量sinx，于是原函數(shù)可進(jìn)行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函數(shù)有界性）

對(duì)于求形如y= ct+d at+b （其中t為三角函數(shù)）分式最值問題，可用反解法，即把原分式y(tǒng)= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范圍.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y?（2sinx+3）=sinx-2，

可整理為 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、數(shù)形結(jié)合法（斜率與兩點(diǎn)之間的距離有兩種情形）

數(shù)形結(jié)合法即將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理.根據(jù)所給表達(dá)式的特點(diǎn)，在坐標(biāo)平面上考慮各種曲線間的關(guān)系，以獲得該三角函數(shù)問題的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 設(shè)P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直線PQ的斜率的取值范圍點(diǎn)P的軌跡是圓a2+b2=1，即求圓上點(diǎn)與Q點(diǎn)連線斜率最值.由圖知當(dāng)PQ與圓相切時(shí)，斜率取得最值.

設(shè)PQ的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切條件得原點(diǎn)到直線的距離等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此題中點(diǎn)P的軌跡，若是直線又如何呢？例8將為你介紹.

四、應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先證明f（x）在[0， π 2 ]上是單調(diào)增函數(shù).

解 設(shè)x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此種解法僅實(shí)用于函數(shù)在給定區(qū)間是單調(diào)函數(shù).

以上探討了多種求分式三角函數(shù)最值的方法，由于三角函數(shù)最值問題題目類型的多樣性，在求此類問題時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其中許多題型的解法并不唯一，一題可能有多種方法求解.諸多方法也并非是獨(dú)立的，解一道題目可能會(huì)應(yīng)用多種方法，才能最終解出最值.并且在求解的過程中，我們要學(xué)會(huì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的思想.也許所給題型不是以上列舉的類型，但是我們需要判斷是否能夠轉(zhuǎn)化為已知類型的問題來求解，這就需要我們有一定的轉(zhuǎn)化變換技巧和思想.因此，在解此類問題時(shí)不僅要靈活運(yùn)用三角變換的方法和技巧，還要充分注意代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)的運(yùn)用，以提高解決此類問題的能力.

[參考文獻(xiàn)]

篇(4)

一、求曲線上某點(diǎn)的切線方程

求切線方程是解決曲線切線問題的基礎(chǔ)，因此我們必須準(zhǔn)確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并牢固掌握求導(dǎo)法則.求曲線上某點(diǎn)的切線方程又可以分兩類：⑴此點(diǎn)為切點(diǎn)，這就意味著不用再求出切點(diǎn)，可以直接求切線方程了；⑵求過某點(diǎn)的切線方程，點(diǎn)在曲線上，這類問題就要求我們注意了，此點(diǎn)是否為切點(diǎn)還要我們驗(yàn)證才知道，如果我們一開始就認(rèn)定此點(diǎn)為切點(diǎn)，那就很容易出錯(cuò)了.此點(diǎn)為切點(diǎn)的題目我們見得多了，但也很可能出現(xiàn)在曲線上的點(diǎn)卻不是切點(diǎn)，這就要求我們先判斷再解題了.

例1.曲線上點(diǎn)，求過點(diǎn)的切線方程.

分析：點(diǎn)在已知曲線上，本題要求的是過點(diǎn)的切線方程，但點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，故我們解題時(shí)要先求出切點(diǎn)坐標(biāo).

解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ，

則處的切線方程是 .

該切線過點(diǎn)，

化簡(jiǎn)得：，

解得： 或，

過點(diǎn)的切線的斜率是 或 ，

過點(diǎn)的切線方程為：

或.

即所求的切線方程是： 或 .

評(píng)注：我們做這類題型時(shí)往往會(huì)把點(diǎn)作為唯一一個(gè)切點(diǎn)，這樣的話我們就只求出點(diǎn)處的切線，而漏解另外一條切線.從本題求解過程我們不難悟出求切點(diǎn)坐標(biāo)的方法，這很重要，要記住.

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線方程的一般步驟：

（1）設(shè)切點(diǎn).

（2）求.

（3）寫出切線方程：.

2.在解析幾何中求最值

在解析幾何中的最值問題一般是求兩條曲線之間的最短距離，在高考中常出現(xiàn)的類型是求一條拋物線（或雙曲線）到一條直線的最短距離，這類題的解題步驟一般為：先求出與直線平行的拋物線（或雙曲線）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)到線的距離公式得出所求的距離.

例2 求拋物線的點(diǎn)到直線的最短距離.

解設(shè)與直線平行的拋物線的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，

， 因此，切點(diǎn)坐標(biāo)為，

切點(diǎn)到直線的距離為，且 .

所以拋物線上點(diǎn)到直線的最短距離為.

評(píng)注：求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離，應(yīng)先求出與直線平行的拋物線的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，再求出該切點(diǎn)到直線的距離就是所求的最短距離了.

3.求函數(shù)的解析式

例3. 已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，求的解析式.

分析：由所給不等式的幾何意義知，拋物線夾在直線與拋物線之間，而直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)，故知直線與拋物線、相切于同一個(gè)點(diǎn)，此為解題的關(guān)鍵.

解的圖像過點(diǎn)，

①

，則

②

由①、②解得：，

則有.

則有.

設(shè)、、，

我們可以知道的圖像夾在與之間，又與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故直線與拋物線、切于同一點(diǎn).

而，即

，，.

所以所求函數(shù)為：.

評(píng)注：函數(shù)的解析式往往要結(jié)合該函數(shù)的圖像特點(diǎn)來解決，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解函數(shù)的解析式也可以使問題簡(jiǎn)化.上面的例題用函數(shù)的圖像特點(diǎn)可以解出、的值，而要解出值就要對(duì)所求函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再把切點(diǎn)的坐標(biāo)代入就可以求出值了，進(jìn)而可以求出函數(shù)的解析式.

4.解與函數(shù)圖像特征有關(guān)的問題

例4.設(shè)函數(shù)的圖像為，函數(shù)的圖像為，已知在與的一個(gè)交點(diǎn)的切線相互垂直.

（1）求，之間的關(guān)系；

（2）若，，求的最大值.

解（1）對(duì)于：，有

對(duì)于：，有

設(shè)與的一個(gè)交點(diǎn)為.

由題意知過交點(diǎn)的兩條切線互相垂直，

，

即 ①

又點(diǎn)在與上，故有

，

所以②

由①、②消去，可得

（2）由于，且

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.

評(píng)注：本題以函數(shù)圖像為背景考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和語言轉(zhuǎn)化能力，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決這類問題的關(guān)鍵.

不管是求函數(shù)的解析式還是解與函數(shù)圖像特征有關(guān)的問題，這往往要觀察函數(shù)圖像的特征，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，這樣會(huì)使解題過程變得簡(jiǎn)便.

5.求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

有時(shí)在求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常常搭配幾個(gè)參數(shù)來增加題目的難度，像這類型的題通常需要對(duì)參數(shù)經(jīng)分類討論求函數(shù)的單調(diào)性.

例5.已知，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解

（1）當(dāng)時(shí)

若，則；若，則 ，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).

（2）當(dāng)時(shí)

由，解得或，

由，解得 ，

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).

（3）當(dāng)時(shí)

由，解得

由，解得或，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).

評(píng)注：不管是求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性還是求含參數(shù)的單調(diào)性，都要先對(duì)所求函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過對(duì)所求導(dǎo)數(shù)的大于零（或小于零）的值來判斷所求函數(shù)的單調(diào)性，而在求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)就要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論后再判斷.

6. 求函數(shù)極值

例6. 求函數(shù)的極值.

解，

令，解得，，，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表:

所以，當(dāng)時(shí)，有極大值，，

當(dāng)時(shí)，有極小值，.

評(píng)注：求函數(shù)的最值重要的是先求出的值，然后根據(jù)在定義域中的變化，、隨著的變化情況再判斷函數(shù)的極大值和極小值.

7.求函數(shù)最值

例3.4求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.

解，

令，有 解得

，，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

從上表可知，最大值是17，最小值是8.

評(píng)注：函數(shù)的最值要求與函數(shù)的極值區(qū)分，函數(shù)的最值不一定是極值，函數(shù)的極值也不一定是最值，求函數(shù)的最值要求在極值和端點(diǎn)中比較，最大的值才是最大值，而最小的值就是最小值.函數(shù)的最值是在求出函數(shù)極值的基礎(chǔ)上再與函數(shù)的端點(diǎn)值的比較后再得出所求的最大值（或最小值）.

8.求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值應(yīng)先求出函數(shù)極值再判斷，而求數(shù)列最大（?。╉?xiàng)，我們可以作輔助函數(shù)，通過判斷輔助函數(shù)的單調(diào)性再得出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng).

例8.已知數(shù)列｛｝是通項(xiàng)是，求數(shù)列｛｝的最大項(xiàng).

解作輔助函數(shù) ，

則

令解得：

令解得： 或

在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

在區(qū)間內(nèi)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值.

對(duì)，

，

即數(shù)列｛｝的最大項(xiàng)是3，且.

篇(5)

三角函數(shù)的最值問題的類型很多，其常見類型有以下幾種.

一、形如y=a+bsinx（或cosx，x∈R）的最值

方法：利用正、余弦函數(shù)的有界性解決.

例1：求y=+cos4x的最值.

解：y=+cos4x

當(dāng)cos4x=1即x=（k∈z）時(shí)，有y=1；

當(dāng)cos4x=-1即x=+（k∈z）時(shí)，有y=.

二、形如y=asinx+bcosx（一次齊次）的最值

方法：用輔助角公式y(tǒng)=sin（x+θ）化為形如y=a+bsinx來解決.

例2：求函數(shù)y=sinx+cosx+2的最大值和最小值.

解：y=sinx+cosx+2=sin（x+）+2

當(dāng)sin（x+）=1即x=2kπ+（k∈z）時(shí)，有y=3；

當(dāng)sin（x+）=-1即x=2kπ-（k∈z）時(shí)，有y=1.

三、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx（二次齊次）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角相同，次數(shù)不同角不同；

②二次的用二倍角公式降冪；

③用輔助角公式化為形如y=a+bsinx來解決；

③若含有常數(shù)項(xiàng)，方法同上.

例3：求函數(shù)y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值、最大值.

解：y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=sin2x+2cosx+1

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2

當(dāng)sin（2x+）=-1時(shí)，有y=2-.

當(dāng)sin（2x+）=1時(shí)，有y=2+.

四、形如y=asinx+bsinx+c（x∈z）的最值

方法：①形式為次數(shù)相同角度不同或次數(shù)不同而角度相同.

②借助于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域解決.

例4：如果|x|≤，求函數(shù)f（x）=cosx+sinx的最大值、最小值.

解：f（x）=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-（sinx-）+

設(shè)sinx=t得y=-（t-）+

由題設(shè)|x|≤，

-≤sinx≤，-≤t≤.

因?yàn)閒（x）在[-，]是增函數(shù)，在[，]上是減函數(shù)，

當(dāng)x=-時(shí)，f（x）=；

當(dāng)x=時(shí)，f（x）=.

變式1：求函數(shù)y=cos2x-cosx+2的最小值；

變式2：求函數(shù)y=cosx-2acosx-a的最大值；

變式3：sinx+cosx+a=0有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

五、形如求y=x+或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值

方法：用三角代換求某些代數(shù)函數(shù)的最值.

例5：求函數(shù)y=x+的最大值、最小值.

解：x∈R

可設(shè)x=sinθ（-≤θ≤）

則有y=sinθ+|cosθ|

-≤θ≤

cosθ≥0

y=sinθ+cosθ=sin（θ+）

-≤θ≤

-≤θ≤≤π

-1≤sin（θ+）≤

當(dāng)θ=-，即x=-1，y=-1；

當(dāng)θ=-，即x=，y=.

例6：求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.

解：設(shè)t=sinx-cosx=sin（x-），則-≤t≤，且兩邊平方可得sinxcos=.

所以y=t+=-（t-1）+1，

篇(6)

例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過點(diǎn)（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。

解：y′=3x2-6x，當(dāng)x=1時(shí)y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x.

1、方法提升：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2．求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。

2、方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

當(dāng)x變化時(shí)，y′、y的變化情況如下：

當(dāng)x=－2時(shí)，y有極大值f(-2)=－（28/3），當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值f(2)=－(4/3).

3、方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有實(shí)數(shù)根；（3）對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化，如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右側(cè)符號(hào)不變，則f(x0)不是極值。四、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

五、證明不等式

5、方法提升：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點(diǎn)題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”。

總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值以及切線問題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語言和工具，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí)。

【摘要】新課程利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值。導(dǎo)數(shù)是分析和解決問題的有效工具。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)函數(shù)的切線單調(diào)性極值和最值

導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱）是一個(gè)特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時(shí)的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個(gè)初步探究。

有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，預(yù)計(jì)也是“新課標(biāo)”下高考的重點(diǎn)。

參考資料：

篇(7)

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；區(qū)間；最值問題

中圖分類號(hào)：G632　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A　文章編號(hào)：1002-7661（2012）24-132-01

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要函數(shù)，它的性質(zhì)及應(yīng)用是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，那么在本節(jié)，一個(gè)難點(diǎn)的問題是“二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題”這個(gè)問題出現(xiàn)在高中教材必修一教材中，對(duì)于剛上高中的學(xué)生而言，應(yīng)該算作一個(gè)重點(diǎn)問題也是一個(gè)難點(diǎn)問題，那么我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生解決這一問題呢？本人做了一下歸納，希望對(duì)學(xué)生有所幫助。二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，一般分為三大類，（1）定函數(shù)定區(qū)間（2）動(dòng)函數(shù)定區(qū)間；（3）定函數(shù)動(dòng)區(qū)間

具體如何解決，本人認(rèn)為影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要由三個(gè)因素：拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，和區(qū)間位置。二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，他只能在區(qū)間端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取得，三大類問題都遵循以下方法。

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論的一般方法：

當(dāng)a＞0時(shí)，　f（x）在區(qū)間[p，q]上的最大值為M，最小值為m。令X0=（p+q）

（1）若　＜p，則f（p）=m，f（q）=M；

（2）若p≤?。糥0，z則f（?。?m，　f（q）=M；

（3）若X0≤?。紂，則f（p）=M，　f（?。?m；

（4）若　≥q，　f（p）=M，　f（q）=m；

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[p，q]上的最大值與上述最小值討論一致，而最小值類似上述最大值討論。

問題一　定函數(shù)定區(qū)間

例1求函數(shù)f（x）=2x2-4x+3在[3，5]上的最值。

解：配方的f（x）=2（x-1）2+1，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1.又因?yàn)?＜3.所以函數(shù)在x=3處獲得最小值，在x=5處獲得最大值。

問題二　動(dòng)函數(shù)定區(qū)間

例2求函數(shù)y=　x2-2ax-1在[0，2]上的最值。

分析；有y=（x-a）2-（a2+1）可知對(duì)稱軸為直線x=a是一個(gè)變量，應(yīng)分a＜0，0　≤a≤1，　1＜a≤2，a＞2四種情況分別討論。

解：結(jié)合二次函數(shù)的圖象，觀察對(duì)稱軸直線x=a與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系，得

①當(dāng)a＜0時(shí)，ymin=f（0）=-1　ymax=f（2）=3-4a，

y∈[-1，3-4a]；

②當(dāng)0　≤a≤1時(shí)，ymin=-（a2+1），ymax=f（2）=3-4a，

y∈[-（a2+1），3-4a]；

③當(dāng)1＜a≤2時(shí)，ymin　=-（a2+1），ymax　=f（0）=-1，

y∈[-（a2+1），-1]；

4）?、躠＞2時(shí)，ymin=f（2）=　3-4a，　ymax　=f（0）=-1

y∈[3-4a，-1].

問題三　定函數(shù)動(dòng)區(qū)間

例4　設(shè)函數(shù)f?。▁）　=　x2-4x-4的定義域?yàn)閇t－2，t－1]，　t∈R，求函數(shù)的最小值＆（t）的解析式。

解：（1）f?。▁）　=　（x-2?。?-8

①當(dāng)[t－2，t－1]　[2，+∞），即-2≥2時(shí)，

f?。▁）min=　f　（t-2）=?。╰-4）2-8

②當(dāng)[t-2，t-1]?。?∞，2]，即

t-1≤2時(shí)，f?。▁）min=　f?。╰-1）=?。╰-3）2-8

③t-2＜2＜t-1，即3

f　（x）min=　f?。?）=-8

小結(jié)：（1）解二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為y=a（　x-m?。?+n的形式的頂點(diǎn)（m，n）或?qū)ΨQ軸方程x=m.