三角函數(shù)值規(guī)律精品(七篇)

序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇三角函數(shù)值規(guī)律范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

1. 概念理解不透徹

例1 在RtABC中，各邊的長度都擴大3倍，那么銳角A的三角函數(shù)值（ ）.

A. 都擴大3倍 B. 都擴大4倍

C. 不能確定 D. 沒有變化

【錯解】A.

【分析】三角形三邊都擴大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變. 錯解沒有真正理解三角函數(shù)的概念.

【正解】D. 三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，大小只與角的度數(shù)有關(guān)，與邊的大小無關(guān).

2. 忽視求三角函數(shù)的限制條件

例2 （2012?江西內(nèi)江）如圖1，ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本題的解答過程中，根據(jù)sinA=，部分同學(xué)會錯誤地得出sinA=，導(dǎo)致結(jié)果與選項不符，要么隨便選一個，降低了正確率，要么開始重新審題，浪費了寶貴的考試時間. 這個錯誤的根源在于沒有真正理解正弦的概念，沒有掌握銳角三角函數(shù)的使用條件：在直角三角形中. 因此本題需先尋找∠A所在的直角三角形，而圖中∠A所在的ABC并不是直角三角形，這就需要添加輔助線，構(gòu)造直角三角形. 如圖1，連接CD，得到CDAB，sinA===.

在斜三角形中求三角函數(shù)值時往往需要作高（形內(nèi)或者形外）構(gòu)造直角三角形.

3. 忽視分類討論

例3 RtABC的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.

【錯解】6和8是直角三角形的兩邊，斜邊是10，最小角的正弦值是.

【分析】已知條件中并沒有指明6和8是兩條直角邊，所以本題應(yīng)分兩種情況：

（1） 6和8是兩條直角邊；

（2） 6是直角邊，8是斜邊.

很多同學(xué)錯在忽視了第2種情況.

【正解】當(dāng)6和8是兩條直角邊時，斜邊是10，所以最小角的正弦值是.

當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時，則另一直角邊是=2，所以最小角的正弦值是=. 綜上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽視銳角三角函數(shù)的范圍

例4 已知α為銳角，4tan2α-3=0，求tanα.

【錯解】4tan2α-3=0，tan2α=，

tanα=±.

【分析】銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)直角三角形的邊的比，所以tanα>0.

【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=

±. tanα>0，tanα=.

銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，在求解時不能忘記.

5. 混淆特殊角三角函數(shù)值的變化規(guī)律

例5 銳角α滿足

A. 30°

C. 45°

【錯解】A.

【分析】正弦值與正切值都隨銳角度數(shù)的增大而增大，而余弦值是隨銳角度數(shù)的增大而減小. 本題錯在沒有準(zhǔn)確掌握特殊角的三角函數(shù)，將特殊角的三角函數(shù)值張冠李戴，混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規(guī)律.

【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值隨銳角度數(shù)的增大而減小，cos60°

在銳角范圍內(nèi)，正弦與正切可以看成是單調(diào)遞增函數(shù)，即度數(shù)大三角函數(shù)值就大；而余弦正好相反.

6. 主觀臆斷

例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=______.

【錯解】sinA===，

sin=.

【分析】本題錯在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，兩者顯然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本題正確的解法是先求出∠A的度數(shù)，然后再求其正弦值.

【正解】sinA===，

∠A=60°，∠A=30°. sin=.

求一個角一半的三角函數(shù)值，應(yīng)先求出這個角的度數(shù)，然后再求其三角函數(shù)值，一定不能用三角函數(shù)值的一半作為角的一半的三角函數(shù)值.

篇(2)

1、簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用"單位圓定義法"，對于任意角?，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，即角 （弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標(biāo)y──正弦；角 （弧度）對應(yīng)于點P的橫坐標(biāo)x──余弦?？梢缘玫椒浅Ｇ宄?、明確的表示，而且這種表示也是簡單的。另外，"x= cos ?，y= sin ?是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表述"，其中，單位圓上點的坐標(biāo)隨著角?每隔2π（圓周長）而重復(fù)出現(xiàn)（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數(shù)的周期性。

"終邊定義法"需要經(jīng)過"取點──求距離──求比值"等步驟，對應(yīng)關(guān)系不夠簡潔；"比值"作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； "從角的集合到比值的集合"的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的"數(shù)集到數(shù)集"的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且"比值"需要通過運算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點的選取無關(guān)）也需要證明；"比值"的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到．以往的教學(xué)實踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不甚了了，與"終邊定義法"的這些問題不無關(guān)系。

2、有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)。"單位圓定義法"以單位圓為載體，自變量?與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等。

在學(xué)習(xí)弧度制時，學(xué)生對引進弧度制的必要性較難理解。

"單位圓定義法"可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)（也是實數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了。另外，我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系：把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點） 被纏繞到單位圓上的點P(cos ，sin )。 轉(zhuǎn)貼于

3、符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史。三角函數(shù)發(fā)展史表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運動的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為"圓函數(shù)"。所以，采用"單位圓定義法"能更真實地反映三角函數(shù)的發(fā)展進程。

早在古希臘時代，人們就知道"相似三角形的對應(yīng)邊成比例"，這是三角函數(shù)的根源，也是其本質(zhì)所在，所以三角函數(shù)起源于幾何中的邊角關(guān)系。三角函數(shù)的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。到了近代，人們將三角函數(shù)作為一般的函數(shù)來研究它們的代數(shù)性質(zhì)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮無窮級數(shù)或微分方程的解，將其定義擴展到復(fù)數(shù)系。映射也是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，是人們思考問題時一種非常重要的對應(yīng)關(guān)系。

4、有利于后續(xù)學(xué)習(xí)。前已述及，"單位圓定義法"使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)。不僅如此，這一定義還能為"兩角和與差的三角函數(shù)"的學(xué)習(xí)帶來方便，因為和（差）角公式實際上是"圓的旋轉(zhuǎn)對稱性"的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述。另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學(xué)習(xí)帶來方便。例如，重要極限 幾乎就是定義的一個"推論"。

篇(3)

如何將任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為00～3600角三角函數(shù)求值問題

問題1：求390的正弦、余弦值

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)從問題開始。先安排求特殊值，再過渡到一般情形，此轉(zhuǎn)符合學(xué)生的身心特點和認知規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生在研究三角函數(shù)求職時抓坐標(biāo)、抓角終邊之間的關(guān)系。同時首先考慮+2KЛ（KZ）與三角函數(shù)值之間的關(guān)系，正是體現(xiàn)了新課程中三角函數(shù)被看成刻畫現(xiàn)實。

二、教后思考分析

1、關(guān)于教學(xué)設(shè)計定位的思考。就三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式來說，教學(xué)設(shè)計定位時一般會出現(xiàn)以下幾種傾向：其一，定位于知識的學(xué)習(xí)，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生知道存在一些公式，可以將任意角的三角函數(shù)進行一些轉(zhuǎn)化。其二，定位于公式的學(xué)習(xí)，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生努力分析和總結(jié)各組公式的形式規(guī)律，對“函數(shù)名不變，符號看象限”等口訣死記硬背，并追求靈活運用等解題能力的培養(yǎng)。其三，強調(diào)對過程的深入理解和對公式推導(dǎo)的細致聚焦。其四，在關(guān)注知識學(xué)習(xí)的同時，滲透數(shù)學(xué)思想方法的理解和領(lǐng)悟。從對教材的分析來看，蘇教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應(yīng)點的坐標(biāo)關(guān)系，這樣處理的好處是避免了任意角的象限分類和化歸，起到了利用直觀的對稱這個工具和研究手法去研究誘導(dǎo)公式的變化規(guī)律的目的，揭示了代數(shù)和幾何的有機結(jié)合和統(tǒng)一。從實際教學(xué)效果來看，學(xué)生對這樣的處理方式還是比較容易領(lǐng)悟和理解的

2、對角a的任意性的理解。在這節(jié)課中，角a的任意性是一個教學(xué)難點，為此我們設(shè)置了三個點（1）問題2中非30°不可嗎？角α行不行？（2）幾何畫板拖動演示感受角α的任意性（3）習(xí)題中進一步深化學(xué)生認識，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，對這個問題還會有進一步的認識。事實上，有許多同學(xué)在一開始是將角α當(dāng)成銳角去處理的，但我再教學(xué)中不過分強調(diào)角α的任意性，因為對待數(shù)學(xué)知識的教學(xué)不能一步到位，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)力求順其自然，水到渠成。

3.關(guān)于誘導(dǎo)公式作用的分析。在公式一的教學(xué)之后，學(xué)生認識到有了這組公式，可以將任意角轉(zhuǎn)化成0°～360°角，如果在公式二的推導(dǎo)完成后，我能引導(dǎo)學(xué)生認識到如果將角α看成銳角，那么π?Da就是第二象限角，這樣就可以將第二象限角的三角函數(shù)值與第一象限建立聯(lián)系，同樣，第三、四組誘導(dǎo)公式推導(dǎo)之后也做類似的工作，這樣學(xué)生對于誘導(dǎo)公式的作用認識可能會更深刻。

4、關(guān)于教學(xué)評價分析，我們覺得本次的教學(xué)設(shè)計和學(xué)生認知水平基本吻合。如果學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱一些，我們會設(shè)計問題的指向性會更明確，為學(xué)生搭建更多的腳手架，基礎(chǔ)性的練習(xí)要更多一些。

篇(4)

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)公式；簡化；規(guī)律

數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，但由于數(shù)學(xué)公式具有高度的抽象性和概括性，學(xué)生對公式的學(xué)習(xí)積極性不高，大部分學(xué)生更多地停留在知識的記憶層面，并且數(shù)學(xué)公式又比較多，對于學(xué)習(xí)任務(wù)較重的學(xué)生來講，更是增加了學(xué)習(xí)負擔(dān).作為占主導(dǎo)地位的教師來講，就要培養(yǎng)學(xué)生自己歸納、總結(jié)數(shù)學(xué)公式，洞察內(nèi)在的聯(lián)系，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感.作者就三個示例闡述如何將數(shù)學(xué)公式化繁為簡，展示數(shù)學(xué)公式的魅力.

一、特殊角的三角函數(shù)值

在三角函數(shù)值的學(xué)習(xí)過程中，0°，30°，45°，60°，90°占據(jù)重要的地位，它們所對于的三角函數(shù)值起著基礎(chǔ)性的作用.而三角函數(shù)的值是從直角三角形邊的比值推導(dǎo)得來，對于學(xué)生來講，理解不是難事情，但是在以后的運用中若需要三角函數(shù)值，不可能再去推導(dǎo)和查閱公式，學(xué)生必須記憶，繁多的公式對于學(xué)生來講是一件難事情，常見教材或者工具書的三角函數(shù)表如下：

在這個簡化的公式表中，各個函數(shù)值的分子具有較強的規(guī)律性，對于學(xué)生來講具有一定的新穎感，也便于學(xué)生記憶.

二、三角形、平行四邊形和梯形的面積公式

在大多數(shù)的教材中，三角形、平行四邊形和梯形的面積公式都只是單純的給出公式，并沒有給出這幾個公式的聯(lián)系，如下表.

作為占主導(dǎo)和引導(dǎo)地位的老師來講，在學(xué)習(xí)完這些公式，就應(yīng)該總結(jié)、歸納這些公式的內(nèi)在聯(lián)系：梯形的面積公式可以統(tǒng)領(lǐng)三角形和平行四邊形.當(dāng)梯形公式中的CD=0時，就退化為三角形，其面積S=12（AB+CD）?h=12（AB+0）?h=12AB?h；

當(dāng)梯形公式中的CD=AB時，就特殊化為平行四邊形，其面積為S=12（AB+CD）?h=12（AB+AB）?h=AB?h.這既可以培養(yǎng)學(xué)生歸納知識的能力，又可以讓學(xué)生知道事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的道理.

三、橢圓與圓的面積公式

對于圓的面積公式S=πr2（r為半徑），很多人都很熟悉，但是對于橢圓的面積公式S=πab（a，b為橢圓的長半軸和短半軸）就很陌生.學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該明白圓和橢圓的特殊關(guān)系：從下圖就可以清楚知道二者的內(nèi)在聯(lián)系，

篇(5)

舊教材對概念的引入一般都是先給出定義，然后再舉相應(yīng)的一些例子予以說明。這樣教學(xué)邏輯性是強了，但不能照顧到學(xué)生的思維能力。而新教材中一些的問題在恰當(dāng)?shù)牡胤教崃顺鰜恚坏龑?dǎo)教師的數(shù)學(xué)活動，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，帶著這些問題學(xué)生可以更好的自主學(xué)習(xí)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。在這種理念下出版的新教材相對于舊教材在問題設(shè)置方面變化較大，問題意識貫穿在整個教材的始終。對于穿插在教材中的“觀察”、“思考”、“探究”、“觀察與猜想”、“閱讀與思考”、“探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等拓展性欄目，有效的調(diào)節(jié)了數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的氣氛，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的呆板面目，為新教材增色不少。而且新的課程標(biāo)準(zhǔn)也強調(diào)了知識的聯(lián)系性，通過不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系和啟發(fā)，強調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地思考問題的方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，教師都可以通過新教材中的一些設(shè)計的問題在課堂教學(xué)中由學(xué)生自主完成，很多有經(jīng)驗的教師都認為課堂上要大膽留給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間，把學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)有機結(jié)合起來，讓每個學(xué)生都積極地參與到學(xué)習(xí)中去，成為課堂上真正的主人。

在高中學(xué)生掌握的三角函數(shù)的主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。在舊教材中三角函數(shù)安排在第一冊（下）第四章即在高一下學(xué)期進行學(xué)習(xí)。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根據(jù)黑龍江省的教學(xué)順序，在高一上學(xué)期的期中考完試之后進行學(xué)習(xí)。

現(xiàn)在我從幾個角度去分析三角函數(shù)這部分內(nèi)容的新舊教材內(nèi)容編寫及體系設(shè)置的差異：

（1）在形式上的對比：

舊教材是36節(jié)課時，新教材是24節(jié)課時。

從教材內(nèi)容先后順序的調(diào)整，更符合學(xué)生的認知規(guī)律，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)中倡導(dǎo)的螺旋式的教學(xué)模式。新教材展示了研究數(shù)學(xué)所滲透的多種思想方法，如化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，換元思想，分類討論思想。同時在數(shù)學(xué)式子和圖形的變化中，讓學(xué)生領(lǐng)會分析、探索，類比，平移，伸縮變換等這些常用的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，從而使學(xué)生在獲取知識和運用知識的過程中發(fā)展思維能力，提高思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

（二）在內(nèi)容上的對比：

1、新教材引入了計算器計算。

2、任意角三角函數(shù)一節(jié)弱化了正弦線，余弦線，正切線，強調(diào)了坐標(biāo)運算。

3、新教材弱化同角關(guān)系式結(jié)構(gòu)，減少了tanα·cotα=1 強調(diào)運用與推導(dǎo)。

4、誘導(dǎo)公式加入了正切公式，位置與順序做了調(diào)整。

5、新教材將兩角和差的正余弦公式放在“三角函數(shù)圖與性質(zhì)”之后。

6、新教材將“函數(shù)y=sin(ωχ+φ) 的圖象”一節(jié)放于正切函數(shù)圖象之后。

7、新教材刪去了“已知三角函數(shù)值求角”的內(nèi)容。

8、新教材增加了“三角函數(shù)模型的應(yīng)用”的內(nèi)容。

9、舊教材中只有“三角函數(shù)與歐拉”，“潮汐與港口”兩個閱讀材料。

新教材有三種專題：

閱讀與思考中包括：“三角學(xué)與天文學(xué)”和“振幅、周期、頻率、相位” 。

探究與發(fā)現(xiàn)中包括：“函數(shù)y=Asin(ωχ+φ) 及函數(shù)y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用單位圓中的三角函數(shù)線研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”

信息技術(shù)應(yīng)用中包括：“利用正切線畫函數(shù)y=tanχ,x∈(-■,■) 圖象”和“利用信息技術(shù)制作三角函數(shù)表”。

10、例題習(xí)題中出現(xiàn)了許多高考習(xí)題，以及方法與思維較為靈活的綜合習(xí)題等。

內(nèi)容的調(diào)整降低了難度，使教師在教學(xué)中既注重基礎(chǔ)知識又加強能力的培養(yǎng)，我們在教學(xué)中可以依據(jù)教材的特點，教材幾乎每一部分的右側(cè)都有“？”，讓學(xué)生可以在課上或課下進行積極的研究與討論，教師在備課過程中可以設(shè)計問題教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題進行學(xué)生。教學(xué)中注重分層教學(xué)，輔助以多媒體教學(xué)手段，編寫了分層作業(yè)，其中有基礎(chǔ)作業(yè)，能力作業(yè)等。

（三）在教學(xué)要求上： 舊教材的具體要求是：

1、使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算。

2、使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。

3、使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。

4、使學(xué)生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。

5、使學(xué)生會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。

6、使學(xué)生會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示。

而新教材的具體要求是：

1、了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與度的互化。

2、借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式的正弦、余弦、正切，能畫出的y=sinx,y=cosx,y=tanx圖象，了解三角函數(shù)的周期性。

3、借助圖象理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在[0,2π] ，正切函數(shù)在(-■,■)上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）。

4、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.

5、結(jié)合具體實例，了解y=Asin(ωχ+φ)的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin(ωχ+φ)的圖象，觀察參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響。

6、會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。

7、經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。

8、能以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

9、能運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（公式不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進一步提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。

（四）教學(xué)體會及建議

1、重視誘導(dǎo)公式的歸納和作用：因為在其它章節(jié)中只要是與角有關(guān)系的問題,例如：解三角形中；直線的傾斜角和斜率；立體幾何中的成角問題等都會涉及到誘導(dǎo)公式的使用。它的作用是將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，從中領(lǐng)會化歸的數(shù)學(xué)思想及蘊含的創(chuàng)新意識。

2、三角函數(shù)線作為三角函數(shù)的幾何表示，可適當(dāng)補充一些三角函數(shù)線的應(yīng)用，如比較三角函數(shù)值的大小；已知求x, 讓學(xué)生增強“數(shù)形結(jié)合”的意識，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想方法。也為今后學(xué)習(xí)有關(guān)內(nèi)容打下基礎(chǔ)。

3、同角公式的應(yīng)用中，對于已知某任意的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值，如已知sinα+cosα求sinα,cosα。解決這個問題，關(guān)鍵在于如何正確運用平方根的概念，正確的進行分類。讓學(xué)生自己去體會總結(jié)最佳途徑，以免多走彎路。

篇(6)

一、知識體系

同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和差的公式、二倍角公式及其綜合應(yīng)用.

三角恒等變換是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是一種重要的數(shù)學(xué)能力，要立足于教材，弄清公式的來龍去脈，同時要注意對公式的正用、逆用以及變形運用的訓(xùn)練，要在靈、活、巧上下功夫，以增強變換意識.

二、核心解讀

1. 三角恒等變換是一種基本技能，從題型上一般表現(xiàn)為對三角式的化簡、求值與證明. 對所給三角式進行三角恒等變換時，除需使用三角公式外，一般還需運用代數(shù)式的運算法則或公式，如平方差公式、立方差公式等. 對三角公式不僅要掌握其“原形”，更要掌握其“變形”，才能在解題時真正達到運用自如，左右逢源的境界.

2. 在運用三角公式進行三角變換時，要從函數(shù)名稱和角的差異兩方面綜合分析，再從差異的分析中決定公式的選取. 一般變換的規(guī)律是：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無理化有理.

三、近幾年高考命題特點

1．考查題型以選擇、填空為主，分值約占5%，10%，基本屬于容易題和中檔題.

2．重點考查兩角和與差的三角公式和倍角公式等，其中對倍角公式靈活運用的考查是高考的熱點.

四、2011年高考真題再現(xiàn)

考點1考查同角三角函數(shù)關(guān)系

（1）應(yīng)用同角之間的平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系解決三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題；

（2）已知一個角的三角函數(shù)值，求其他角的三角函數(shù)值時，要注意對角化簡，一般是把已知和所求同時化簡，化為同一個角的三角函數(shù)，然后求值.

例1（2011年全國理科卷）已知∈，，sin= ，則tan2=__________.

評析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .

考點2考查誘導(dǎo)公式

（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函數(shù)值是化簡的主要工具. 使用誘導(dǎo)公式前，要正確分析角的結(jié)構(gòu)特點，然后確定使用的誘導(dǎo)公式；

（2）將不能直接使用誘導(dǎo)公式的角通過適當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導(dǎo)公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出現(xiàn)時，則要分k為奇數(shù)和偶數(shù)討論）；

（3）誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負化正，大化小，化到銳角為終了，特殊角能求值則求值；

（4）化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結(jié)果要盡可能使項數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求出值的要求出值、無根式、無分式等.

例2(2011年遼寧理科卷)設(shè)sin= ，則sin2=_________.

評析本題考查了二倍角公式等三角函數(shù)知識.

sin2=cos=2sin2 1=2

易錯提醒利用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式時，容易出現(xiàn)符號錯誤.

考點3考查兩角和、差公式

兩角和、差的三角函數(shù)公式是高考熱點之一，其題型既有小題(選擇題、填空題)，也有大題(靠前的解答題)，主要是容易題和中等題. 重點是考查基本公式的應(yīng)用和恒等變換思想.

例3(2011年浙江理科卷)若0

評析因為+= ，所以cos =cos=coscos+sin ?sin= == .

技巧點撥解題的關(guān)鍵在于把“所求角”表示為“已知角”. ①當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示兩個“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”只有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”；③常見的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.

考點4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函數(shù)

若函數(shù)f （x）的解析式通過三角恒等變換可轉(zhuǎn)化為f （x）=asinx+bcosx+k的形式，則函數(shù)f （x）的解析式可化為f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.

例4（2011年安徽文科卷）設(shè)f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 對一切x∈R恒成立. 有以下結(jié)論：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（k∈Z）；⑤存在經(jīng)過點（a,b）的直線與函數(shù)f （x）的圖像不相交. 以上結(jié)論正確的是 _____________(寫出正確結(jié)論的編號).

評析先將f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0變形為f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤對一切x∈R恒成立，得a，b之間的關(guān)系，然后順次判斷命題真假.

由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤對一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.

①f =2bsin=0，故①正確；

②==2bsin，故②錯誤；

③f （x）≠±f （x），故③正確；

④因為b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④錯誤；

⑤因為a=b>0，要使經(jīng)過點（a,b）的直線與函數(shù)f （x）圖像不相交，則此直線與x軸平行，又f （x）的振幅為2b>b，所以該直線必與f （x）圖像有交點，故⑤錯誤.

答案：①③.

考點5考查二倍角公式

掌握倍角公式和半角公式，運用公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值以及恒等式的證明，是高考的熱點.

注意以下幾組常見的公式：

（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；

（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；

（3）用sin,cos表示tan：tan ==.

注：上述三組公式從左到右起到一個擴角降冪的作用，從右到左起到一個縮角升冪的作用.

例5(2011年江蘇卷)已知tan=2，則的值為__________.

評析因為tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因為tan==2，解得tanx= ，所以的值為.

考點6考查綜合應(yīng)用

三角函數(shù)的化簡求值是?？碱}型. 它往往出現(xiàn)在小題中，或者是解答題中的一問，其中必然滲透著簡單的三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，著重考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法.

例6（2011年天津理科卷）設(shè)函數(shù)f（x）=tan2x+，設(shè)∈，若f =2cos2，求的大小.

評析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）?（cos+sin），又因為sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.

五、2012年高考命題趨勢

1. 考查兩角和差的三角函數(shù)公式，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)，難度不大；

2．考查二倍角公式的運用，題型可以是小題，也可以是大題，為中檔題；

3．考查三角恒等變換的化簡與求值問題，一般都在大題中進行考查；

4．解答題屬中、高檔題目.對三角恒等變換的考查形式有穩(wěn)重求變、求活和“能力立意”的命題趨勢.

1．已知角的頂點與原點重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2=_________.

2．若tan=3，則的值等于_________.

3．已知sin=+cos，且∈，則的值為___________.

篇(7)

（圖一）

1復(fù)習(xí)長方形的面積求法。

2教師畫出平行四邊形并給出定義。

3教師給出平行四邊形面積公式并證明。其中每進行一步，教師都依據(jù)學(xué)生學(xué)過的知識闡述地一清二楚。（圖一）

4練習(xí)。教師舉出許多大小，邊長，角度各不相同的平行四邊形讓學(xué)生算出其面積，學(xué)生都準(zhǔn)確無誤的算出來了。

表面上看，這節(jié)課的效果已達到，可當(dāng)韋特海默又畫了一個圖（圖二）讓學(xué)生求面積時，大部分學(xué)生模仿老師的證明畫了圖也茫然，只有少數(shù)學(xué)生作了輔助線（圖三），或把紙轉(zhuǎn)45度，再畫輔助線。

（圖二）

（圖三）

由此可見，大多數(shù)學(xué)生并未真正理解所學(xué)內(nèi)容，只是機械記憶，盲目使用公式。學(xué)生在課堂上獲取的都幾乎從天而降，他們在學(xué)習(xí)過程中沒有自己真正的思維活動，沒有跳一跳摘到果子的喜悅，沒有自己豁然開朗的東西。因此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)強調(diào)學(xué)生的主體活動，教學(xué)設(shè)計中注意創(chuàng)新意識根據(jù)不同的材料作為“先行組織者”；根據(jù)不同的內(nèi)容選擇合理的模式等等。

青年教師在教學(xué)初期一般都會有這樣的感覺：學(xué)生對新課的概念部分似乎沒

什么興趣，對后面的例題舉例聽得倒專心些。于是不免有些教師就前面草草收場，后面再來多給題型以求見多識廣。結(jié)果學(xué)生只是死記硬背，剛開始還能依葫蘆畫瓢，時間一長，葫蘆都想不起了，就更別提畫瓢了。下面我想舉一個例子說明一下。

在“同角三角函數(shù)基本關(guān)系”的教學(xué)中，一般都采取這樣的教學(xué)：先由三角函數(shù)定義直接推出基本關(guān)系，再舉例說明關(guān)系式在三角求值，化簡，證明中的應(yīng)用。這樣做雖然可以很快地把這些知識交給學(xué)生，可不盡人意之也很快就會在后面的復(fù)習(xí)中表現(xiàn)出來。比如，“已知＝求的值”一題，學(xué)生在新課練習(xí)中都會用同角關(guān)系式，但過段時間再做時，一部分中間的學(xué)生往往會出現(xiàn)這樣的解法：由終邊找出三角函數(shù)定義中的x，y，r，再求其他三角函數(shù)值。當(dāng)然，我們提倡一題多解，可這些學(xué)生是提示他用關(guān)系式他會解，但自己就想不到那兒去。這就是學(xué)生反映的一聽甚至一點就明白，為什么自己就想不到。而這正是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法存在缺陷的表現(xiàn)。要想讓學(xué)生能做到也能想到，從而使學(xué)習(xí)處于自覺狀態(tài)，是照本宣科式的教學(xué)難以實現(xiàn)的。數(shù)學(xué)教材為我們提供的僅僅是數(shù)學(xué)知識的一種邏輯體系，它的順序一般是“定義──定理，公式，法則──應(yīng)用”，而學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維活動順序是“問題──定理，公理，法則──定義”。因此，教師要把教材提供的邏輯順序轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)活動順序，并結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平，安排恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)課堂教學(xué)情景和數(shù)學(xué)思維活動進程，達到提高課堂效率的目的。比如剛才那個例子，從認知心理學(xué)的觀點出發(fā)，教師可以結(jié)合“先行組織者”的使用來設(shè)計教學(xué)情景。

1． 復(fù)習(xí)三角函數(shù)定義。按照定義，一個角的各三角函數(shù)值是完全由它的終邊所確定的，即給定角的終邊，角的各個三角函數(shù)值就唯一確定了。

2． 問題：給定一個角的某個三角函數(shù)值（如正弦值），這個角的終邊是否也能確定？

3． 已知＝，試確定終邊的位置，以及的值。

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義時已經(jīng)有了用相似三角形來說明定義的合理性經(jīng)驗，又有“三角函數(shù)線”的知識，因此這里容易想到：如果設(shè)P（x，y）為 終邊上一點，不失一般性，可令y＝4，r＝5，則x＝3于是P點坐標(biāo)是（3，4）或（－3，4），故 終邊確定，這個角的其他三角函數(shù)值也可以確定：。當(dāng)把這些放到一起時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)既然x，y，r之間有關(guān)系，那各個三角函數(shù)之間也應(yīng)該可以互相表示，而且如果有了角 的各個三角函數(shù)之間關(guān)系的一般表達式，那么像“求值”之類的問題就會變得非常容易，這樣就使接下來的基本關(guān)系式的推導(dǎo)變得水到渠成。

以上這種設(shè)計我個人認為它不但能夠使學(xué)生感到教學(xué)過程的自然，而且可使學(xué)生從中體驗到如何將所考察對象的內(nèi)容進行逐步擴展，這其中包括試驗，猜想，聯(lián)想，類比，合情推理等等，而這是培養(yǎng)學(xué)生獨立思考能力，創(chuàng)造探索新知識能力的最好體現(xiàn)。

其實，數(shù)學(xué)思想方法是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，是處理數(shù)學(xué)問題的基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是使學(xué)生提高思維水平，真正懂得數(shù)學(xué)的價值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)，運用數(shù)學(xué)的重要保證，也是現(xiàn)代教學(xué)思想與傳統(tǒng)教學(xué)思想的根本區(qū)別之一。由于數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容的進一步提煉和概括，是一種隱性的知識內(nèi)容，要通過反復(fù)體驗才能領(lǐng)悟和運用。而數(shù)學(xué)方法要通過數(shù)學(xué)內(nèi)容才能反映出來，并且要在解決問題的不斷實踐中才能理解和掌握。因此，在數(shù)學(xué)課本中即使是直接指出“XX思想”，“XX方法”也不一定能起到應(yīng)有的作用。于是教師要貫徹好數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)可以考慮通過以下途徑：（1）充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法；（2）有目的，意識，計劃，步驟地滲透和介紹有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法。同時注意──a反映數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，介紹數(shù)學(xué)概念的形成背景，應(yīng)用生活，數(shù)學(xué)中的矛盾設(shè)置問題；b根據(jù)教學(xué)內(nèi)容滲透，介紹，突出相應(yīng)的或隱含的數(shù)學(xué)思想方法；c引導(dǎo)學(xué)生自己探索和體驗數(shù)學(xué)思想方法──三條原則。通過“直覺──試探──思索──猜想──證明”這一般過程去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思想方法。

我國一直有著強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的傳統(tǒng)，一系列的教學(xué)大綱中都提到了要提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去分析和解決實際問題的能力。盡管如此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐還是表現(xiàn)出對“思維訓(xùn)練”的過多偏愛。教材中有關(guān)應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識也較少，即便有點，也被教師以教學(xué)進度等原因給“淡化”了。要想提高學(xué)生解決實際問題的能力，光靠幾道應(yīng)用題是起不到本質(zhì)作用的，我們必須充分應(yīng)用我們的每一節(jié)課，充分體現(xiàn)“觀察──實驗──思考──猜想──證明（或反駁）”這一數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造過程和理解過程，展現(xiàn)概念的提出過程，結(jié)論的探索過程和解題的思考過程；從對數(shù)學(xué)具有歸納，演繹兩個側(cè)面的全面認識；從使個體掌握知識，形成能力和良好思維品質(zhì)的全方位要求出發(fā)，去設(shè)計一個單元，一堂課的教學(xué)目標(biāo)，問題提出，情景創(chuàng)設(shè)的教學(xué)過程的各個環(huán)節(jié)，使學(xué)生自主地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，通過他們自己獨立的思維活動來獲取知識，發(fā)展思維能力和創(chuàng)造力，從而達到學(xué)以致用的目的。

參考文獻

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